Evn à propriété d'approximation (PA) \(E\)
Evn pour lequel sur tout compact, il existe un Opérateur de rang fini qui approxime arbitrairement bien l'identité sur ce compact. $$\forall K\subset_C E,\forall\varepsilon\gt 0,\exists T\in L_f(E),\quad \forall x\in K,\lVert Tx-x\rVert\leqslant\varepsilon$$

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Citez un exemple d'evn qui a la propriété d'approximation.
Verso:

1. Tout Espace de Hilbert fonctionne.
2. \(L^p(X,\mu)\) avec \(p\in[1,+\infty]\)
3. \(C_0^b(Y)\), avec \(Y\) un Espace métrique

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démontrer :

Par Précompacité, on recouvre le compact par un nombre fini de boules de rayon \(\varepsilon\).

On considère \(T\) la Projection orthogonale (sous-espace vectoriel euclidien)|Projection orthogonale sur l'espace vectoriel engendré par les centres de ces boules.

On montre que cela fonctionne pour tout \(y\), en forçant une inégalité triangulaire avec \(Tx_i\) et \(x_i\), avec \(x_i\) le centre de la boule contenant \(y\).